李代数

李代数指的是一个向量空间 $\mathfrak{g}$ 配备一个李括号 $[\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$，满足以下三条公理：

双线性
反对称: $[x, y] = -[y, x]$
雅可比恒等式
$[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0$

括号指的是，吃进去两个对象，吐出来同类型的第三个对象。

李括号的输入是两个向量场 $X, Y$，输出一个新的向量场 $Z = [X, Y]$，它的严谨定义为两个向量场代表的作用在光滑函数 $f$ 上的微分算子的交换子：

$[X, Y](f) \equiv X(Y(f)) - Y(X(f))$

它衡量 “先沿 $X$ 走再沿 $Y$ 走” 与 “先沿 $Y$ 走再沿 $X$ 走” 的差异。如果 $[X, Y]=0$，则说明这两个场是对易的，它们的流可以像经纬网一样铺开；如果非零，说明流形在弯曲或者扭转，使得路径无法闭合。

辛同构

设 $(M, \omega)$ 为辛流形。由于 $\omega$，它自然诱导了一个从切丛到余切丛的同构 $\flat: TM \to T^*M$

即对于任意一个向量 $X \in V$，我们可以用 $\omega$ 把 $X$ 变成一个对偶向量 $\alpha$，记作

$\iota_X \omega = \alpha$

具体为 $\alpha(Y) = \omega(X, Y), \forall Y \in V$

哈密顿向量场

给定一个光滑函数 $H$，它的外微分 $dH$ 是一个 1-形式：

$dH = \sum \frac{\partial H}{\partial x^i} dx^i$

我们将辛同构应用到 $dH$ 上，定义向量场 $X_H$ 满足：

$\iota_{X_H}\omega = dH \quad \Rightarrow \quad \omega(X_H, Y) = dH(Y), \quad \forall Y$ $\begin{aligned} (X_H)^TJY &= (\nabla H)^T Y \\ (X_H)^TJ &= (\nabla H)^T \\ J^T X_H &= \nabla H \\ X_H &= J\nabla H \end{aligned}$

我们会发现，$X_H$ 就对应了哈密顿方程的解。这是哈密顿方程的几何来源。

$X_H = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial H}{\partial p} \\ -\frac{\partial H}{\partial q} \end{pmatrix}$

泊松括号

泊松括号由辛形式定义：

$\{f, g\} \equiv \omega(X_f, X_g)$

它输入两个光滑函数 $f, g$，输出一个新的函数 $h = \{f, g\}$。我们可以推导如下性质：

$\omega(X_f, X_g) = (\iota_{X_f}\omega)(X_g) = df(X_g) = X_g(f)$

这里最后一步是外微分的定义，我们分别展开左式与右式：

左式：

$df(X_g) = (\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i)(\sum_{j} X_g^j \frac{\partial}{\partial x^j})$

由于 $dx^i (\frac{\partial}{\partial x^j}) = \delta_j^i$，所以

$df(X_g) = \sum_{i,j} \frac{\partial f}{\partial x_i} X_g^i \delta_j^i = \sum_i X_g^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$

右式：

$X_g(f) = (\sum_j X_g^j \frac{\partial}{\partial x^j})f = \sum_j X_g^j \frac{\partial f}{\partial x^j}$

所以左式 $=$ 右式

坐标表达式

我们还可以代入坐标计算

$\begin{aligned} \{f, g\} &= \omega(J \nabla f, J \nabla g) = (J \nabla f)^T J (J \nabla g) = \nabla f^T J^T J J \nabla g \\ &= \nabla f^T J \nabla g = \sum(\frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}) \end{aligned}$

它衡量的是物理量 $f$ 随着由 $g$ 产生的流是如何变化的。例如若 $\{f, H\} = 0$（$H$ 是哈密顿量/能量），则 $f$ 相对于 $H$ 是一个守恒量。

李代数同态

该部分内容有丶丶超纲，我不会太严谨，因为我自己也没完全理解。但我需要这一部分来继续解释辛几何。

可以证明，映射 $f \mapsto X_f$ 保持括号结构 $X_{\{f, g\}} = -[X_f, X_g]$ （这里的负号是因为我之前定义了 $\iota_{X_H}\omega = dH$，只影响符号）

我们知道 $\iota_{X_{\{ f, g \}}} = d\{f, g\}$，所以我们欲证：

$\iota_{-[X_f, X_g]} = d\{f, g\}$

Cartan 公式

对于任意向量场 $X$ 和任意微分形式 $\omega$，有：

$\mathcal{L}_X\omega = d(\iota_X \omega) + \iota_X(d\omega)$

其中 $\mathcal{L}_X$ 是李导数，定义为

$\mathcal{L}_X \omega = \frac{d}{dt} \big|_{t=0} \phi_t^* \omega$

它描述了几何对象沿着向量场 $X$ 产生的流 $\phi_t$ 的变化率，它是对时间的导数。

Cartan 公式等于是在说，要算李导数，不用真的去解微分方程求流 $\phi_t$，只需要求两个静态的空间操作 ($d$ 和 $\iota_X$) 即可。

Cartan 公式的证明

证明略。需要分别证明对于 0-形式和 1-形式成立，并且由于对外积满足莱布尼茨法则，所以它对所有形式都成立。

证明

利用 Cartan 公式，因为辛形式是闭形式，满足 $d\omega = 0$, 且 $X_f$ 是哈密顿向量场，有 $\iota_{X_f} \omega = df$，所以：

$\mathcal{L}_{X_f}\omega = d(df) + 0 = 0$

利用李导数与内乘的交换关系：

$\iota_{[X, Y]} = [\mathcal{L}_X, \iota_Y] = \mathcal{L}_X \iota_Y - \iota_Y \mathcal{L}_X$

将其作用在 $\omega$ 上：

$\begin{aligned} \iota_{[X_f, X_g]} \omega &= \mathcal{L}_{X_f} (\iota_{X_g} \omega) - \iota_{X_g} (\mathcal{L}_{X_f} \omega) \\ &= \mathcal{L}_{X_f}(dg) - \iota_{X_g}(0) \\ &= \mathcal{L}_{X_f}(dg) \end{aligned}$

因为 $d$ 和 $\mathcal{L}_X$ 是可交换的 $(d \mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X d)$；且对于函数 $g$，$\mathcal{L}_{X_f}g = X_f(g)$（在光滑函数上应用李导数的定义可推），所以：

$\mathcal{L}_{X_f}(dg) = d(\mathcal{L}_{X_f}g) = d(X_f(g))$

我们在泊松括号章节曾推导性质 $\{f, g\} = -X_f(g)$，所以：

$\iota_{[X_f, X_g]} \omega = -d\{f, g\}$

得证