双线性形式

定义

设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的一个向量空间。定义 $V$ 上的一个双线性形式是一个函数 $B: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$，它接受两个向量作为输入，输出一个实数；并且对每一个变量都保持线性，即任意向量 $u, v, w \in V$ 和任意标量 $\lambda \in \mathbb{R}$，满足：

对第一个变量线性

$\begin{aligned} B(u+v, w) &= B(u, w) + B(v, w) \\ B(\lambda u, w) &= \lambda B(u, w) \end{aligned}$

对第二个变量线性

$\begin{aligned} B(u, v+w) &= B(u, v) + B(u, w) \\ B(u, \lambda v) &= \lambda B(u, v) \end{aligned}$

数学上，我们常常以 “形式” 来称呼代数中输出为标量的函数。注意双线性形式并不限于实数域，任意域 $\mathbb{F}$ 均可定义双线性形式，如复数域 $\mathbb{C}$，那会导向不同的数学分支，暂不讨论。

矩阵表示

我们在 $V$ 中选定一组基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$，将 $u, v$ 写成基向量的组合

$u = \sum x_i e_i,\quad v = \sum y_j e_j$

根据双线性性质，将 $B(u, v)$ 展开

$B(u, v) = B(\sum_i^n x_i e_i, \sum_j^n y_j e_j) = \sum_i^n \sum_j^n x_i y_j B(e_i, e_j)$

定义一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，使得 $A_{ij} = B(e_i, e_j)$，上式可以写成漂亮的矩阵乘法形式：

$B(u, v) = u^TAv$

所以，其实每种双线性形式都对应了一个方阵 $A$；反过来每一个方阵 $A$ 都定义了一个双线性形式。研究双线性形式的性质，本质上就是研究这个矩阵 $A$ 的性质。

黎曼几何与辛几何的分野

对于任意一个双线性形式 $B$，我们可以构造两个新的双线性形式：

$\begin{aligned} B_{sym}(u, v) &= \frac{1}{2}(B(u, v) + B(v, u)) \\ B_{skew}(u, v) &= \frac{1}{2}(B(u, v) - B(v, u)) \end{aligned}$

显然

$\begin{aligned} B_{sym}(u, v) &= B_{sym}(v, u) \\ B_{skew}(u, v) &= -B_{skew}(v, u) \end{aligned}$

且任意双线性形式 $B$ 可以唯一写成

$B(u, v) = B_{sym}(u, v) + B_{skew}(u, v)$

长度

$|u|^2 = B(u, u) = B_{sym}(u, u) + B_{skew}(u, u)$

根据 $B_{skew}$ 的性质，我们很容易知道 $B_{skew}(u, u)=0$，因此 $B_{skew}$，即反对称部分对长度的贡献为 0

角度

当我们考虑角度时，我们需要考虑余弦定理

$\begin{aligned} |u-v|^2 &= |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|\text{cos}\theta \\ &= B(u, u) + B(v, v) - 2|u||v|\text{cos}\theta \end{aligned}$

对比双线性性质展开的结果

$B(u-v, u-v) = B(u, u) - B(u, v) - B(v, u) + B(v, v)$

我们知道这里有 $B(u, v) + B(v, u) = 2|u||v|\text{cos}\theta$，而 $B(u, v)+ B(v, u) = 2 B_{sym}(u, v)$，也就是说，夹角 $\theta$ 也与 $B_{skew}$ 无关。

黎曼几何，研究的就是 $B_{skew}=0$ 时的特例。

$B_{skew}=0$ 也是完全可以成立的，这等同于引入了一个挠率张量，在几何上表现为改变了空间的联络。在复几何、弦论当中，$B_{skew}$ 绝不是多余的。

面积

面积的几何直觉来自：自己和自己张成的面积为 0，即 $B(u, u)=0$，而我们知道

$B(u, u) = B_{sym}(u, u) + \underbrace{B_{skew}(u, u)}_{0} = B_{sym}(u, u)$

因此，如果我们想要定义一个符合直觉的面积，我们就被迫要令 $B_{sym}=0$，面积就只和剩下的 $B_{skew}$ 有关

$B_{skew}$ 的反对称形式，其实代表的是面积的有向性。辛几何，研究的就是 $B_{sym} = 0$ 的特例。

综上，我们可以明白两种不同的几何底层对应的不同双线性形式

$\begin{aligned} B(u, v) = B(v,u) \quad& \Leftrightarrow A^T = A \\ B(u, v) = -B(v,u) \quad& \Leftrightarrow A^T = -A \end{aligned}$

如果我们允许 $B_{sym}\neq 0$，将会导向一种耗散系统（多辛几何 & 接触几何）。暂不展开，但我觉得我将会不可避免地碰到它。

辛形式

设 $V$ 是一个 $m$ 维实向量空间，$V$ 上的一个辛形式是一个双线性形式 $\omega:V \times V \rightarrow \mathbb{R}$，满足以下两个条件：

反对称性 $\forall u, v \in V, \omega(u, v) = - \omega(v, u)$

这也隐含了 $\omega(v, v) = 0$

非退化性 $\text{if} \,\, \forall v \in V, \omega(u, v) = 0, \text{then} \,\, u=0$

性质

如果一个向量空间 $V$ 上存在辛形式，那么 $V$ 的维数必须实偶数，即 $m=2n$

证明（代数法）：取 $V$ 的一组基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$，则辛形式 $\omega$ 唯一对应一个矩阵表示 $A_{ij} = \omega(e_i, e_j)$

由反对称性，$A^T = A$，而对于行列式 $\text{det}(A) = \text{det}(A^T)$

所以，$\text{det}(A) = \text{det}(-A) = (-1)^m\text{det}(A)$

又因为非退化性，$\text{det}(A) \neq 0$，所以 $1 = (-1)^m \Rightarrow m$ 为偶数

辛流形

我们将辛向量空间推广到光滑流形上。一个辛流形是一个二元组 $(M, \omega)$，其中 $M$ 是一个偶数维的光滑流形，$\omega$ 是 $M$ 上的一个微分 2-形式

微分 2-形式

我们任取一个 $V$ 上的非零向量 $e_1$，由于 $\omega$ 是非退化的，所以至少存在一个向量 $v \in V$，使得 $\omega(e_1, v) \neq 0$

显然我们可以缩放 $v$，找到 $f_1$ 使得 $\omega(e_1, f_1) = 1$，这样我们就可以在 $V$ 中剥离出一个 2 维空间 $W_1 = \text{span}\{e_1, f_1\}$。我们可以在 $W_1$ 的正交补空间上继续剥离，总之整个辛空间的可以看作是若干个 2 维空间的直和，基为 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n, f_1, f_2, \cdots, f_n\}$

显然有

$\omega(e_i, e_j) = 0, \quad \omega(f_i, f_j)=0, \quad \omega(e_i, f_j) = \delta_{ij}, \quad\omega(f_i, e_j) = -\delta_{ij}$

得到辛形式的矩阵为

$J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}$

对于任意向量 $u, v \in V$，我们将其分解为基坐标形式

$\begin{aligned} u &= \sum_{i=1}^n (u_{q_i}e_i + u_{p_i} f_i) \\ v &= \sum_{j=1}^n (v_{q_j}e_j + v_{p_j} f_j) \end{aligned}$

计算

$\omega(u, v) = \omega\left( \sum_{i} (u_{q_i} e_i + u_{p_i} f_i), \sum_{j} (v_{q_j} e_j + v_{p_j} f_j) \right)$

展开后有四种项：

$e_i$ 与 $e_j$ 的项：$\sum u_{q_i} v_{q_j} \omega(e_i, e_j) = 0$。
$f_i$ 与 $f_j$ 的项：$\sum u_{p_i} v_{p_j} \omega(f_i, f_j) = 0$。
$e_i$ 与 $f_j$ 的项： $\sum_{i,j} u_{q_i} v_{p_j} \omega(e_i, f_j)$ 由于 $\omega(e_i, f_j) = \delta_{ij}$，只有 $i=j$ 时非零。 $= \sum_{i=1}^n u_{q_i} v_{p_i}$
$f_i$ 与 $e_j$ 的项： $\sum_{i,j} u_{p_i} v_{q_j} \omega(f_i, e_j)$ 由于 $\omega(f_i, e_j) = -\delta_{ij}$。 $= \sum_{i=1}^n -u_{p_i} v_{q_i}$

合并结果：

$\omega(u, v) = \sum_{i=1}^n (u_{q_i} v_{p_i} - u_{p_i} v_{q_i})$

能看到 $p_i$ 分量与 $q_i$ 分量总是配对的，交错项在辛形式中的贡献为 0。我们将 $u_{q_i} v_{p_i} - u_{p_i} v_{q_i}$ 记为 $(dp_i \wedge dq_i)(u, v)$，则 $\omega(u, v) = (\sum_{i=0}^n dp_i \wedge dq_i )(u, v)$

回到微分 2-形式，它指的就是在流形上的每一个点 $x$，都能定义一个辛形式 $\omega_x: T_xM \times T_xM \rightarrow \mathbb{R}$，衡量当前位置切空间中任意两个向量的有向面积。