泛函分析是对我影响很大的一门学科，用调侃的话来说我的感受就是：“不懂泛函的人素质品味都很差”。但是，怎么清晰地和一些不大接触数学的同学解释呢？我自己想了一个比较通俗的版本，遂分享一下。

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所谓泛函分析，顾名思义就是研究泛函的一门学科。泛函可以通俗地理解为是一台机器，它吃进一个元素，吐出一个数字。只有这一个要求，再无其它（通常，我们还会要求具有线性，研究“线性泛函”，但我们这部分科普可以先暂时忽略）。

举个直观例子，我们每个人都可以是一个泛函。假设我现在准备了一大堆食材，黄瓜、番茄、鸡蛋，我们每个人都可以给这些食材打分。我可能给黄瓜打 90 分，小明可能会给黄瓜打 60 分。总之，我们都是接收一个“食材”，输出一个“好吃分数”，如小明(黄瓜)=60，这就可以称作是一个泛函了。

但是这有什么用呢？我们可以换一把“尺子”。现在，我们用食材本身作为泛函，而输出的分数则作为两者的适配程度。因为番茄和鸡蛋很搭，所以我们使用 “番茄尺子” 去衡量鸡蛋的话，得分就是番茄(鸡蛋) = 100；但和黄瓜可能搭配度差一点，得分是番茄(黄瓜) = 60

我的下一个问题是，为什么番茄(鸡蛋) = 100，而番茄(黄瓜) = 60？它们为什么不同？你会发现，这和这把 “番茄尺子” 的固有属性是有关的，实际上，也就是和 “番茄” 的固有属性是有关的（在数学上，我们把 “番茄尺子” 和 “番茄” 称为对偶），比如鸡蛋可以促进脂溶性的番茄红素的吸收。泛函分析，目标就是去研究这些尺子，进而实际上去研究所有元素的属性。我们还可以把所有的食材放在一个空间里，去研究这个“食材空间”的属性，比如含糖量、比如油脂的多少，等等。

而在现实世界的很多问题中，我们面对的“食材”太复杂了，复杂到了包含了无穷多的维度。我们需要这样一项技术，去研究一些 “尺子” 或 “空间”，比如深度学习的矩阵、比如量子力学的哈密顿算符。

在深度学习中，我们的神经网络就相当于在寻找一把完美的“高级尺子（泛函）”。你给它输入一张照片（一个包含了几百万像素的复杂元素），它吐出一个数字（比如 99% 概率是猫）。神经网络训练的过程，就是在微调这把尺子的刻度。
在量子力学中，微观粒子没有确定的位置，它们以“波函数”的形式存在于无限维的空间中。物理学家使用哈密顿算符，本质上也就是我们刚才说的复杂版“机器”，它把粒子的状态吃进去，吐出来一个我们能观测到的物理量（比如能量值）。

总结一下，在泛函分析的视角里，我们不再研究一个具体的元素，而是研究这个元素空间上的尺子、及其读数，最后构建起对整个元素空间的认识，是一个更广泛的视角。