伽马函数

定义为：

$\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$

对应正整数 $n$，满足 $\Gamma(n)=(n-1)!$

递推关系式

伽马函数存在递推关系式

$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$

可以简单地使用分部积分法证明：

$\begin{aligned} \Gamma(x+1) &= \int_0^\infty t^{x}e^{-t}dt = \int_0^\infty t^{x}d(-e^{-t}) \\ &= [-t^xe^{-t}]_0^{\infty} - \int_0^\infty(-e^{-t})dt^x \\ &= 0 + x\int_0^\infty(e^{-t})t^{x-1}dt \\ &= x\Gamma(x) \end{aligned}$

而 $\Gamma(1) = 1$，所以 $\Gamma(n) = (n-1)!$

计算

可以直接调 math.gamma() 计算

由于阶乘增长速度太快，所以可以采用 math.lgamma()，计算对数值增强稳定性

反射公式

$\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{x}{\sin(\pi x)}$

这个公式允许我们计算负数的伽马函数值。同时我们也能看到，伽马函数在 $0, -1, -2$ 等处附近是发散的。